Упр.111 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 111. Дороги из сёл А и В сходятся у развилки С (рис. 23). Дорога из села А до развилки образует с дорогой из села А в село В утол 30°, а дорога из села В до развилки образует с дорогой из села В в село А угол 70°. Одновременно из села А в направлении развилки выехал автомобиль со скоростью 90 км/ч, а из села В — автобус со скоростью 60 км/ч. Автомобиль или автобус первым доедет до развилки?

Подробный ответ

Обозначим $$AB=a$$. Рассмотрим треугольник $$ABC$$.

Тогда

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-30^\circ-70^\circ=80^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{BC}{\sin \angle A}.$$

Отсюда

$$AC=\frac{AB\cdot \sin 70^\circ}{\sin 80^\circ}=a\cdot \frac{\sin 70^\circ}{\sin 80^\circ}\approx 0{,}9542a,$$

$$BC=\frac{AB\cdot \sin 30^\circ}{\sin 80^\circ}=a\cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 80^\circ}\approx 0{,}5077a.$$

Найдём время движения автомобиля и автобуса до развилки:

$$t_{\text{авт}}=\frac{AC}{90}\approx \frac{0{,}9542a}{90}\approx 0{,}0106a,$$

$$t_{\text{автоб}}=\frac{BC}{60}\approx \frac{0{,}5077a}{60}\approx 0{,}0085a.$$