Упр.110 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 110. Дороги, соединяющие сёла А, В и С (рис. 22), образуют треугольник, причём дорога из села А в село С заасфальтирована, а дороги из села A в село В и из села В в село С — грунтовые. Дороги, ведущие из села А в сёла В и С, образуют угол 15°, а дороги, ведущие из села В в сёла А и С, — угол 5°. Скорость движения автомобиля по асфальтированной дороге в 2 раза больше скорости движения но грунтовой. Какой маршрут надо выбрать водителю автомобиля, чтобы как можно скорее добраться из села А в село В?

Обозначим скорость движения по грунтовой дороге через $$v$$, тогда по асфальтированной дороге скорость равна $$2v$$.

Сравним два возможных маршрута из $$A$$ в $$B$$:

• прямо по дороге $$AB$$;
• через село $$C$$: $$A \to C \to B$$.

Пусть $$AB=a$$. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Тогда

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-15^\circ-5^\circ=160^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{BC}{\sin \angle A}.$$

Отсюда

$$AC=\frac{AB\cdot \sin 5^\circ}{\sin 160^\circ}=a\cdot \frac{\sin 5^\circ}{\sin 160^\circ}\approx 0{,}2548a,$$

$$BC=\frac{AB\cdot \sin 15^\circ}{\sin 160^\circ}=a\cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ}\approx 0{,}7567a.$$

Найдём время движения по каждому маршруту.

1) По дороге $$AB$$:

$$t_1=\frac{AB}{2v}=\frac{a}{2v}=0{,}5\frac{a}{v}.$$

2) Через $$C$$:

$$t_2=\frac{AC}{v}+\frac{BC}{2v}\approx \frac{0{,}2548a}{v}+\frac{0{,}7567a}{2v}$$

$$t_2\approx 0{,}2548\frac{a}{v}+0{,}37835\frac{a}{v}=0{,}63315\frac{a}{v}.$$

Так как $$t_1<t_2$$, то быстрее ехать по прямой дороге $$AB$$.

Ответ

Нужно выбрать маршрут напрямую по дороге $$AB$$.