Упр.11 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1) cos(альфа), если sin(альфа)=3/5 и 0° < альфа < 90°; 2) cos(альфа), если sin(альфа)=1/3 и 90° < альфа < 180°; 3) cos(альфа), если sin(альфа)=v3/4; 4) sin(альфа), если cos(альфа)=-0,8; 5) tg(альфа), если sin(альфа)=4/5 и 90° < альфа < 180°; 6) ctg(альфа), если cos(альфа)=12/13 и 0° < альфа < 90°.

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$

Тогда

$$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}, \qquad \sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}.$$

Знак выбираем по четверти, в которой находится угол.

1) $$\sin\alpha=\frac{3}{5}, \quad 0^\circ<\alpha<90^\circ.$$

В первой четверти $$\cos\alpha>0,$$ значит

$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

2) $$\sin\alpha=\frac{1}{3}, \quad 90^\circ<\alpha<180^\circ.$$

Во второй четверти $$\cos\alpha<0,$$ значит

$$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

3) $$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}.$$

Без указания четверти знак косинуса определить нельзя, поэтому

$$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\frac{3}{16}}=\pm\sqrt{\frac{13}{16}}=\pm\frac{\sqrt{13}}{4}.$$

4) $$\cos\alpha=-0{,}8.$$

Тогда

$$\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\pm\sqrt{1-0{,}64}=\pm\sqrt{0{,}36}=\pm0{,}6.$$

5) $$\sin\alpha=\frac{4}{5}, \quad 90^\circ<\alpha<180^\circ.$$

Во второй четверти $$\cos\alpha<0,$$ значит

$$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}.$$

Тогда

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{4}{5}:\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{4}{3}.$$

6) $$\cos\alpha=\frac{12}{13}, \quad 0^\circ<\alpha<90^\circ.$$

В первой четверти $$\sin\alpha>0,$$ значит

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}.$$

Тогда

$$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{12}{13}:\frac{5}{13}=\frac{12}{5}.$$

Ответ

1) $$\frac{4}{5}$$; 2) $$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$; 3) $$\pm\frac{\sqrt{13}}{4}$$; 4) $$\pm0{,}6$$; 5) $$-\frac{4}{3}$$; 6) $$\frac{12}{5}$$.