Упр.109 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 109. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АНВ, ВНС, АНС и АВС, равны.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — его высоты, то точка $$H$$ — ортоцентр треугольника $$ABC$$.

Найдём радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$:

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B,$$
$$\sin \angle C=\sin(\angle A+\angle B),$$
$$R_{ABC}=\frac{AB}{2\sin \angle C}=\frac{AB}{2\sin(\angle A+\angle B)}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AHB$$. Поскольку $$AA_1 \perp BC$$ и $$BB_1 \perp AC$$, имеем:

$$\angle BAH=90^\circ-\angle B,$$
$$\angle ABH=90^\circ-\angle A.$$

Тогда

$$\angle AHB=180^\circ-\angle BAH-\angle ABH,$$
$$\angle AHB=180^\circ-(90^\circ-\angle B)-(90^\circ-\angle A)=\angle A+\angle B.$$

Следовательно, радиус описанной окружности треугольника $$AHB$$ равен

$$R_{AHB}=\frac{AB}{2\sin \angle AHB}=\frac{AB}{2\sin(\angle A+\angle B)}.$$

Значит,

$$R_{AHB}=R_{ABC}.$$

Аналогично для треугольников $$BHC$$ и $$AHC$$ получаем:

$$R_{BHC}=\frac{BC}{2\sin(\angle B+\angle C)}=R_{ABC},$$
$$R_{AHC}=\frac{AC}{2\sin(\angle A+\angle C)}=R_{ABC}.$$

Итак, радиусы окружностей, описанных около треугольников $$AHB$$, $$BHC$$, $$AHC$$ и $$ABC$$, равны.