Упр.108 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 108. Медиана CD треугольника АВС образует со сторонами АС и ВС углы альфа и бетта соответственно, ВС=а. Найдите медиану CD.

Подробный ответ

Построим точку $$K$$ на продолжении медианы $$CD$$ так, чтобы $$KD=CD$$. Тогда точка $$D$$ — середина отрезка $$CK$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$CBKA$$. В нём $$CD=KD$$ и $$BD=AD$$, значит, диагонали $$CK$$ и $$BA$$ пересекаются и делятся пополам. Следовательно, $$CBKA$$ — параллелограмм.

Отсюда $$AK=BC=a$$, а также

$$\angle BCA=\angle BCD+\angle DCA=\beta+\alpha=\alpha+\beta.$$

Так как в параллелограмме $$AK \parallel BC$$, то

$$\angle CAK=180^\circ-\angle BCA=180^\circ-(\alpha+\beta).$$

Следовательно,

$$\sin \angle CAK=\sin(\alpha+\beta).$$

Рассмотрим треугольник $$ACK$$. По теореме синусов:

$$\frac{CK}{\sin \angle CAK}=\frac{AK}{\sin \angle ACK}.$$

Так как $$\angle ACK=\alpha$$, то

$$CK=\frac{AK\cdot \sin \angle CAK}{\sin \angle ACK}=\frac{a\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha}.$$

Но $$CD=\frac12 CK$$, значит

$$CD=\frac{a\sin(\alpha+\beta)}{2\sin\alpha}.$$