Упр.107 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 107. Медиана АМ треугольника АВС равна m и образует со сторонами АВ и АС углы альфа и бетта соответственно. Найдите стороны АВ и АС.

Обозначим точку на продолжении медианы так, чтобы $$MK=AM$$. Тогда в четырёхугольнике $$ABKC$$ диагонали $$AK$$ и $$BC$$ пересекаются и делятся пополам в точке $$M$$, значит, $$ABKC$$ — параллелограмм.

Отсюда $$CK=AB$$, а угол при вершине $$A$$ равен

$$\angle BAC=\angle MAB+\angle MAC=\alpha+\beta.$$

Рассмотрим треугольник $$ACK$$. В нём

$$\angle ACK=\angle BAC=\alpha+\beta,$$

$$\angle AKC=180^\circ-\angle BAC-\angle ACK=180^\circ-(\alpha+\beta)-(\alpha+\beta).$$

Удобнее найти нужные стороны по теореме синусов. Так как $$AK=2AM=2m$$, то для треугольника $$ACK$$ имеем:

$$\frac{AK}{\sin \angle ACK}=\frac{CK}{\sin \angle AKC}=\frac{AC}{\sin \angle AKC}.$$

Поскольку в параллелограмме $$CK=AB$$, а углы при основании выражаются через $$\alpha$$ и $$\beta$$, получаем:

$$AB=CK=\frac{AK\sin \angle CAK}{\sin \angle ACK}=\frac{2m\sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)},$$

$$AC=\frac{AK\sin \angle AKC}{\sin \angle ACK}=\frac{2m\sin \alpha}{\sin(\alpha+\beta)}.$$

Ответ

$$AB=\frac{2m\sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)},\qquad AC=\frac{2m\sin \alpha}{\sin(\alpha+\beta)}.$$