Упр.106 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 106. Отрезок CD — биссектриса треутольника АВС, в котором угол A=альфа, угол B=бетта. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая сторону АС в точке Е, причём AE=a. Найдите отрезок СЕ.

Так как $$DE \parallel BC,$$ то в четырёхугольнике $$CEDB$$ углы $$\angle DEC$$ и $$\angle BCE$$ — односторонние при параллельных прямых, поэтому

$$\angle DEC=180^\circ-\angle BCE.$$

Поскольку $$CD$$ — биссектриса угла $$C,$$ имеем

$$\angle DCE=\frac12\angle BCE.$$

Рассмотрим треугольник $$DEC$$. Тогда

$$\angle CDE=180^\circ-\angle DEC-\angle DCE.$$

Подставим найденные выражения:

$$\angle CDE=180^\circ-\left(180^\circ-\angle BCE\right)-\frac12\angle BCE=\frac12\angle BCE.$$

Следовательно, $$\angle CDE=\angle DCE,$$ значит, треугольник $$DEC$$ равнобедренный, и потому

$$DE=CE.$$

Для прямых $$DE$$ и $$BC$$ и секущей $$AB$$ получаем

$$\angle ADE=\angle ABC=\beta.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ADE$$. По теореме синусов:

$$\frac{DE}{\sin\angle A}=\frac{AE}{\sin\angle ADE}.$$

Отсюда

$$DE=\frac{AE\cdot \sin\angle A}{\sin\angle ADE}=\frac{a\sin\alpha}{\sin\beta}.$$

Так как $$CE=DE,$$ то

$$CE=\frac{a\sin\alpha}{\sin\beta}.$$

Ответ

$$\frac{a\sin\alpha}{\sin\beta}$$