Упр.106 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
- Отрезок $$CD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$, в котором $$\angle A=\alpha$$, $$\angle B=\beta$$. Через точку $$D$$ проведена прямая, параллельная стороне $$BC$$ и пересекающая сторону $$AC$$ в точке $$E$$, причём $$AE=a$$. Найдите отрезок $$CE$$.
Так как $$DE \parallel BC,$$ то в четырёхугольнике $$CEDB$$ углы $$\angle DEC$$ и $$\angle BCE$$ — односторонние при параллельных прямых, поэтому
$$\angle DEC=180^\circ-\angle BCE.$$
Поскольку $$CD$$ — биссектриса угла $$C,$$ имеем
$$\angle DCE=\frac12\angle BCE.$$
Рассмотрим треугольник $$DEC$$. Тогда
$$\angle CDE=180^\circ-\angle DEC-\angle DCE.$$
Подставим найденные выражения:
$$\angle CDE=180^\circ-\left(180^\circ-\angle BCE\right)-\frac12\angle BCE=\frac12\angle BCE.$$
Следовательно, $$\angle CDE=\angle DCE,$$ значит, треугольник $$DEC$$ равнобедренный, и потому
$$DE=CE.$$
Для прямых $$DE$$ и $$BC$$ и секущей $$AB$$ получаем
$$\angle ADE=\angle ABC=\beta.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$ADE$$. По теореме синусов:
$$\frac{DE}{\sin\angle A}=\frac{AE}{\sin\angle ADE}.$$
Отсюда
$$DE=\frac{AE\cdot \sin\angle A}{\sin\angle ADE}=\frac{a\sin\alpha}{\sin\beta}.$$
Так как $$CE=DE,$$ то
$$CE=\frac{a\sin\alpha}{\sin\beta}.$$
Ответ
$$\frac{a\sin\alpha}{\sin\beta}$$
