Упр.105 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 105. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а высота — 8 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — равнобокая трапеция, где $$AD=21$$ см, $$BC=9$$ см, $$BH=8$$ см — высота, $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$B$$ на $$AD$$.

Так как трапеция равнобокая, то

$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{21-9}{2}=6.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. Тогда

$$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10.$$

Найдём синус угла $$A$$:

$$\sin \angle A=\frac{BH}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.$$

Тогда

$$\cos \angle A=\sqrt{1-\sin^2 \angle A}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. По теореме косинусов:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle A,$$

$$BD^2=10^2+21^2-2\cdot 10\cdot 21\cdot \frac{3}{5}=100+441-252=289,$$

откуда $$BD=17.$$

Так как трапеция равнобокая, она вписанная, а значит её радиус описанной окружности равен радиусу окружности, описанной около треугольника $$ABD$$. Для этого треугольника

$$BD=2R\sin \angle A,$$

следовательно,

$$R=\frac{BD}{2\sin \angle A}=\frac{17}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{85}{8}.$$