Упр.104 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 104. Докажите, пользуясь теоремой синусов, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых пропорциональны прилежащим сторонам.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, в котором $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$. Тогда

$$\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle A.$$

Применим теорему синусов к треугольнику $$ABD$$:

$$\frac{BD}{\sin \angle BAD}=\frac{AB}{\sin \angle BDA}.$$

Отсюда

$$\frac{BD}{AB}=\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle BDA}.$$

Теперь применим теорему синусов к треугольнику $$ACD$$:

$$\frac{CD}{\sin \angle CAD}=\frac{AC}{\sin \angle CDA}.$$

Так как точки $$B, D, C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle CDA=180^\circ-\angle BDA,$$

следовательно,

$$\sin \angle CDA=\sin \angle BDA.$$

Тогда

$$\frac{CD}{AC}=\frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle CDA}=\frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle BDA}.$$

Но $$\angle CAD=\angle BAD$$, значит

$$\frac{CD}{AC}=\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle BDA}.$$

Сравнивая полученные равенства, получаем

$$\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}.$$

Что и требовалось доказать.