Упр.103 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 103. Основание равнобедренного треугольника равно a, противолежащий ему угол равен альфа. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ основание равно $$AC=a$$, а противолежащий ему угол равен $$\angle B=\alpha$$. Тогда углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$$

Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle A=45^\circ-\frac{\alpha}{4}.$$

Найдём сначала сторону $$AB$$ из треугольника $$ABC$$ по теореме синусов:

$$\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{AB}{\sin \angle C}.$$

Отсюда

$$AB=\frac{AC\cdot \sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{a\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. В нём

$$\angle BDA=180^\circ-\angle BAD-\angle B=180^\circ-\left(45^\circ-\frac{\alpha}{4}\right)-\alpha=135^\circ-\frac{3\alpha}{4}.$$

Следовательно,

$$\sin \angle BDA=\sin\left(45^\circ+\frac{3\alpha}{4}\right).$$

По теореме синусов в треугольнике $$ABD$$:

$$\frac{AB}{\sin \angle BDA}=\frac{AD}{\sin \angle B}.$$

Тогда

$$AD=\frac{AB\cdot \sin \angle B}{\sin \angle BDA}=\frac{a\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin\left(45^\circ+\frac{3\alpha}{4}\right)}.$$

Ответ

$$\frac{a\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin\left(45^\circ+\frac{3\alpha}{4}\right)}$$