Упр.102 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 102. В треугольнике АВС известно, что AC=бетта, угол A=альфа, угол C=гамма. Найдите биссектрису BD треугольника.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}.$$

Так как $$\angle B=180^\circ-\alpha-\gamma,$$ то

$$\sin \angle B=\sin(180^\circ-\alpha-\gamma)=\sin(\alpha+\gamma).$$

Следовательно,

$$AB=\frac{AC\cdot \sin \gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}=\frac{b\sin \gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}.$$

Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B,$$ то

$$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle B=90^\circ-\frac{\alpha+\gamma}{2}.$$

Рассмотрим треугольник $$BDC$$. Тогда

$$\angle BDC=180^\circ-\angle DBC-\angle BCD.$$

Но $$\angle BCD=\gamma,$$ значит

$$\angle BDC=180^\circ-\left(90^\circ-\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)-\gamma=90^\circ-\frac{\alpha-\gamma}{2}.$$

Тогда

$$\sin \angle BDC=\cos \frac{\alpha-\gamma}{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin \angle BDA}=\frac{BD}{\sin \angle A}.$$

Отсюда

$$BD=\frac{AB\sin \alpha}{\sin \angle BDA}.$$

Подставим найденное значение $$AB$$ и учтём, что

$$\sin \angle BDA=\cos \frac{\alpha-\gamma}{2}:$$

$$BD=\frac{b\sin \gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}\cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \frac{\alpha-\gamma}{2}}.$$

Итак,

$$BD=\frac{b\sin \alpha \sin \gamma}{\sin(\alpha+\gamma)\cos \frac{\alpha-\gamma}{2}}.$$

Ответ

$$BD=\frac{b\sin \alpha \sin \gamma}{\sin(\alpha+\gamma)\cos \frac{\alpha-\gamma}{2}}.$$