Упр.101 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Трасса для велосипедистов имеет форму треугольника, два угла которого равны $$50^\circ$$ и $$100^\circ$$. Меньшую сторону этого треугольника один из велосипедистов проезжает за $$1\ \text{ч}$$. За какое время он проедет всю трассу? Ответ представьте в часах с точностью до десятых.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, где $$BC=1$$ ч, $$\angle B=100^\circ$$, $$\angle C=50^\circ$$.

Найдём третий угол:

$$\angle A=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-100^\circ-50^\circ=30^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{1}{\sin 30^\circ}=\frac{AB}{\sin 50^\circ}=\frac{AC}{\sin 100^\circ}.$$

Так как $$\sin 30^\circ=0{,}5$$, $$\sin 50^\circ\approx 0{,}76$$, $$\sin 100^\circ\approx 0{,}98$$, получаем:

$$\frac{1}{0{,}5}=2,$$

откуда

$$AB=2\sin 50^\circ\approx 2\cdot 0{,}76=1{,}52,$$

$$AC=2\sin 100^\circ\approx 2\cdot 0{,}98=1{,}96.$$

Тогда периметр треугольника:

$$P_{ABC}=AB+BC+AC=1{,}52+1+1{,}96=4{,}48\approx 4{,}5.$$

Значит, всю трассу велосипедист проедет примерно за $$4{,}5$$ ч.

Ответ

$$4{,}5$$ ч.