Упр.81 ГДЗ рабочая тетрадь Атанасян 9 класс (Геометрия)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Пусть окружность радиуса $$r$$ вписана в правильный треугольник $$ABC$$. Тогда центр окружности $$O$$ лежит на биссектрисах углов треугольника, а точка касания с основанием обозначена через $$D$$.

Так как треугольник правильный, то $$\angle A=60^\circ$$, значит $$\angle BAD=30^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$ABD$$ имеем

$$\tan 30^\circ=\frac{r}{AD}.$$

Поскольку $$\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$$, получаем

$$AD=r\sqrt{3}.$$

Сторона правильного треугольника равна

$$AC=2AD=2r\sqrt{3}.$$

Тогда периметр треугольника

$$P=3AC=6r\sqrt{3}.$$

Площадь правильного треугольника:

$$S_{\triangle}=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}\cdot 6r\sqrt{3}\cdot r=3\sqrt{3}\,r^2.$$

По условию площадь треугольника больше площади вписанного круга на $$15\sqrt{3}-5\pi$$, то есть

$$S_{\triangle}-S_{\text{круга}}=15\sqrt{3}-5\pi.$$

Подставим формулы:

$$3\sqrt{3}\,r^2-\pi r^2=15\sqrt{3}-5\pi.$$

Вынесем $$r^2$$:

$$r^2(3\sqrt{3}-\pi)=5(3\sqrt{3}-\pi).$$

Отсюда

$$r^2=5,$$

значит

$$r=\sqrt{5}.$$

Ответ

$$\sqrt{5}$$