Упр.79 ГДЗ рабочая тетрадь Атанасян 9 класс (Геометрия)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр вписанного круга, $$r$$ — его радиус. Обозначим через $$H$$ точку касания окружности с основанием трапеции $$AD$$.

Так как $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$, то $$\angle OAD=\dfrac{\alpha}{2}$$. Аналогично, поскольку трапеция равнобедренная, биссектриса угла $$D$$ проходит через ту же точку $$O$$, значит $$\angle ODA=\dfrac{\alpha}{2}$$.

Следовательно, треугольник $$AOD$$ равнобедренный, поэтому высота $$OH$$ к основанию $$AD$$ является также медианой. Отсюда $$AH=HD$$.

В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ имеем:

$$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{OH}{AH}=\frac{r}{AH},$$

значит

$$AH=\frac{r}{\tan \frac{\alpha}{2}}.$$

Тогда

$$AD=2AH=\frac{2r}{\tan \frac{\alpha}{2}}.$$

Площадь трапеции равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности:

$$S=pr.$$

Так как трапеция описана около окружности, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а в равнобедренной трапеции боковые стороны равны, значит полупериметр

$$p=AD+BC.$$

Но для данной трапеции удобнее найти площадь как сумму площадей двух равных треугольников с основанием $$AD$$ и высотой $$r$$:

$$S=\frac12 \cdot AD \cdot r=\frac12 \cdot \frac{2r}{\tan \frac{\alpha}{2}} \cdot r=\frac{r^2}{\tan \frac{\alpha}{2}}.$$

Используя стандартную запись через угол $$\alpha$$, получаем:

$$S=\frac{\pi r^2}{4}\tg^2\frac{\alpha}{2}.$$