Упр.78 ГДЗ рабочая тетрадь Атанасян 9 класс (Геометрия)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) Для правильного треугольника радиус описанной окружности выражается через сторону $$a$$ так:

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Тогда площадь круга:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{\pi a^2}{3}.$$

При $$a=3$$ получаем:

$$S=\frac{\pi\cdot 3^2}{3}=3\pi.$$

б) В равнобедренном треугольнике высота $$BD$$, проведённая к основанию $$AC$$, является также медианой. Поэтому $$AD=DC$$.

По теореме Пифагора в треугольнике $$ABD$$:

$$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=6\text{ см}.$$

Следовательно,

$$AC=2AD=12\text{ см}.$$

Площадь треугольника:

$$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48\text{ см}^2.$$

Для треугольника, вписанного в окружность, справедлива формула:

$$S=\frac{abc}{4R}.$$

Здесь $$a=b=10$$, $$c=12$$, поэтому

$$48=\frac{10\cdot 10\cdot 12}{4R}.$$

Отсюда

$$R=\frac{100\cdot 12}{4\cdot 48}=6{,}25\text{ см}.$$

Тогда площадь круга:

$$S=\pi R^2=\pi\cdot 6{,}25^2\approx 122{,}7\text{ см}^2.$$

в) Пусть $$\angle B=\alpha$$. Так как треугольник равнобедренный, то $$OB\perp AC$$ и точка $$O$$ лежит на высоте $$BD$$. Кроме того, $$OA=OB=R$$, значит, треугольник $$AOB$$ равнобедренный.

Тогда $$OE$$ — высота треугольника $$AOB$$, а значит, и медиана, поэтому

$$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OBE$$:

$$\angle OBE=\frac{\alpha}{2},$$

поэтому

$$\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{BE}{OB}=\frac{a/2}{R}.$$

Отсюда

$$R=\frac{a}{2\cos\frac{\alpha}{2}}.$$

Тогда площадь круга:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{a}{2\cos\frac{\alpha}{2}}\right)^2=\frac{\pi a^2}{4\cos^2\frac{\alpha}{2}}.$$