Упр.73 ГДЗ рабочая тетрадь Атанасян 9 класс (Геометрия)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) В равностороннем треугольнике $$ABC$$ со стороной $$a$$ радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

Тогда длина окружности:

$$C=2\pi r=2\pi\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{\pi a\sqrt{3}}{3}.$$

б) В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ дано: $$AB=BC=a$$, $$\angle B=2\alpha$$. Тогда $$\angle A=\angle C=90^\circ-\alpha$$.

Пусть $$D$$ — точка касания вписанной окружности со стороной $$AC$$. В прямоугольном треугольнике $$ABD$$ имеем

$$\angle BAD=\alpha,$$

поэтому

$$AD=AB\sin\alpha=a\sin\alpha.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOD$$:

$$\angle OAD=90^\circ-\alpha,$$

следовательно,

$$r=OD=AD\sin(90^\circ-\alpha)=a\sin\alpha\sin(90^\circ-\alpha).$$

Тогда

$$C=2\pi r=2\pi a\sin\alpha\sin(90^\circ-\alpha).$$

в) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с $$\angle C=90^\circ$$ и $$\angle A=\alpha$$ пусть $$BC=a$$. Тогда

$$AC=a\tan\alpha,$$

$$AB=\frac{a}{\sin\alpha}.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BC=\frac12 a^2\tan\alpha.$$

С другой стороны,

$$S_{ABC}=pr,$$

где $$p=\frac{AB+BC+AC}{2}$$ — полупериметр. Значит,

$$r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{\frac12 a^2\tan\alpha}{\frac12\left(\frac{a}{\sin\alpha}+a+a\tan\alpha\right)}.$$

Упростим:

$$r=\frac{a\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha+1}.$$

Тогда длина окружности:

$$C=2\pi r=\frac{2\pi a\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha+1}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi a\sqrt{3}}{3}$$; б) $$2\pi a\sin\alpha\sin(90^\circ-\alpha)$$; в) $$\frac{2\pi a\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha+1}$$.