Упр.70 ГДЗ рабочая тетрадь Атанасян 9 класс (Геометрия)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Площадь правильного n-угольника выражается через его радиус описанной окружности $$R$$ и радиус вписанной окружности $$r$$ по формулам:

$$S=\frac{1}{2}P r,\qquad a=2R\sin\frac{180^\circ}{n},\qquad r=R\cos\frac{180^\circ}{n}.$$

Используем их для каждого пункта.

а) $$n=4,\ R=3\sqrt{2}\text{ см}.$$

Для квадрата $$r=R\cos45^\circ=3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3\text{ см}.$$

Тогда сторона

$$a=2R\sin45^\circ=2\cdot 3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=6\text{ см},$$

периметр $$P=4a=24\text{ см}.$$

Следовательно,

$$S=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 3=36\text{ см}^2.$$

б) $$n=3,\ P=24\text{ см}.$$

Сторона равностороннего треугольника:

$$a=\frac{P}{3}=8\text{ см}.$$

Тогда

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ см},$$

$$r=\frac{R}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\text{ см}.$$

Площадь:

$$S=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}=16\sqrt{3}\text{ см}^2.$$

в) $$n=6,\ r=9\text{ см}.$$

Для правильного шестиугольника

$$r=R\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}R,$$

откуда

$$R=\frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{18}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}\text{ см}.$$

Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности:

$$a=R=6\sqrt{3}\text{ см}.$$

Тогда

$$P=6a=36\sqrt{3}\text{ см},$$

и

$$S=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}\cdot 36\sqrt{3}\cdot 9=162\sqrt{3}\text{ см}^2.$$

г) $$n=8,\ r=5\sqrt{3}\text{ см}.$$

Для правильного восьмиугольника

$$r=R\cos22{,}5^\circ,$$

поэтому

$$R=\frac{r}{\cos22{,}5^\circ}\approx \frac{5\sqrt{3}}{0{,}9239}\approx 9{,}39\text{ см}.$$

Тогда

$$a=2R\sin22{,}5^\circ\approx 2\cdot 9{,}39\cdot 0{,}3827\approx 7{,}19\text{ см},$$

$$P=8a\approx 57{,}52\text{ см}.$$

Площадь:

$$S=\frac{1}{2}Pr\approx \frac{1}{2}\cdot 57{,}52\cdot 5\sqrt{3}\approx 248{,}51\text{ см}^2.$$

Ответ

а) $$36\text{ см}^2$$; б) $$16\sqrt{3}\text{ см}^2$$; в) $$162\sqrt{3}\text{ см}^2$$; г) $$248{,}51\text{ см}^2$$.