Упр.999 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, М — середина отрез ка АО. Найдите, если это возможно, та кое число k, чтобы выполнялось равенство а) АС = kAO; б) BO = kBD; в) OC = kCA; г) АВ = kDC; д) BC = kDA; е) AM = kCA; ж) MC = kAM; з) АС = kCM; и) АО = kBD. Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма по заданным координатам трёх его вершин: (-4; 4), (-5; 1) и (-1; 5). Сколько решений имеет задача?
Используем свойства параллелограмма: его диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, а противоположные стороны равны и параллельны.
а) $$AC=kAO.$$ Так как $$O$$ — середина диагонали $$AC$$, то $$AO=\frac12 AC$$, значит $$AC=2AO$$ и $$k=2$$.
б) $$BO=kBD.$$ Точка $$O$$ — середина диагонали $$BD$$, поэтому $$BO=\frac12 BD$$. Следовательно, $$k=\frac12$$.
в) $$OC=kCA.$$ Векторы $$\overrightarrow{OC}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$ направлены в противоположные стороны, а $$OC=\frac12 CA$$. Значит, $$k=-\frac12$$.
г) $$AB=kDC.$$ В параллелограмме $$AB=DC$$ и векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$ сонаправлены, поэтому $$k=1$$.
д) $$BC=kDA.$$ Векторы $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$ противоположно направлены, а $$BC=DA$$. Следовательно, $$k=-1$$.
е) $$AM=kCA.$$ Так как $$M$$ — середина отрезка $$AO$$, то $$AM=\frac12 AO$$. Но $$AO=\frac12 AC$$, значит $$AM=\frac14 AC$$. Векторы $$\overrightarrow{AM}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$ противоположно направлены, поэтому $$k=-\frac14$$.
ж) $$MC=kAM.$$ Точка $$M$$ — середина $$AO$$, значит $$AM=MO$$ и $$MC=MO+OC=\frac12 AO+\frac12 AC=\frac34 AC$$, а $$AM=\frac14 AC$$. Тогда $$MC=3AM$$, следовательно, $$k=3$$.
з) $$AC=kCM.$$ Векторы $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{CM}$$ противоположно направлены. Кроме того, $$CM=MC=\frac34 AC$$, значит
$$AC=\frac43 CM,$$
откуда $$k=-\frac43$$.
и) $$AO=kBD.$$ Векторы $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$ неколлинеарны, поэтому такое равенство невозможно.
Теперь найдём координаты четвёртой вершины параллелограмма по трём данным вершинам $$A(-4;4),\ B(-5;1),\ D(-1;5)$$.
Пусть $$C(x;y)$$. Тогда в параллелограмме $$ABCD$$ выполняется $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$.
Составим уравнения по формуле расстояния:
$$AB=\sqrt{(-4+5)^2+(4-1)^2}=\sqrt{10},$$
$$AD=\sqrt{(-4+1)^2+(4-5)^2}=\sqrt{10},$$
$$BC=\sqrt{(-5-x)^2+(1-y)^2},$$
$$CD=\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2}.$$
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то
$$BC=AD,\qquad CD=AB.$$
Получаем систему:
$$ \begin{cases} (x+1)^2+(y-5)^2=10,\\ (-5-x)^2+(1-y)^2=10. \end{cases} $$
Вычтем из второго уравнения первое:
$$ (-5-x)^2+(1-y)^2-(x+1)^2-(y-5)^2=0, $$
$$ 8x+8y=0, $$
$$ x=-y. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ (x+1)^2+(y-5)^2=10, $$
$$ (1-y)^2+(y-5)^2=10, $$
$$ y^2-6y+8=0. $$
Отсюда
$$ y=2 \quad \text{или} \quad y=4. $$
Если $$y=4$$, то $$x=-4$$, получаем уже известную точку $$A(-4;4)$$. Значит, новая вершина:
$$C(-2;2).$$
Ответ
а) $$2$$; б) $$\frac12$$; в) $$-\frac12$$; г) $$1$$; д) $$-1$$; е) $$-\frac14$$; ж) $$3$$; з) $$-\frac43$$; и) невозможно.
$$C(-2;2).$$
