Упр.998 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство n = km, если известно, что: а) векторы m и n противоположно направлены и |m| = 0,5см, |n| = 2см; б) векторы m и n сонаправлены и | m | = 12 см, | n | = 24 дм; в) векторы m и n противоположно направлены и | m | = 400 мм, | n | = 4 дм; г) векторы m и n сонаправлены и |m | = корень2 см, | n| = корень50 см. Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (-2;-3), В(1;4), С (8; 7), D(5;0), является ромбом. Найдите его площадь.

Подробный ответ

Найдём коэффициент $$k$$ из равенства $$\vec n=k\vec m$$. Если векторы сонаправлены, то $$k>0$$, если противоположно направлены, то $$k<0$$. Кроме того, $$|\vec n|=|k|\cdot|\vec m|$$.

а) Векторы $$\vec m$$ и $$\vec n$$ противоположно направлены, значит $$k<0$$.

$$ 2=|k|\cdot 0{,}5 $$
$$ |k|=4 $$
Следовательно, $$k=-4$$.

б) Векторы $$\vec m$$ и $$\vec n$$ сонаправлены, значит $$k>0$$.

$$ 24\text{ дм}=240\text{ см} $$
$$ 240=|k|\cdot 12 $$
$$ |k|=20 $$
Следовательно, $$k=20$$.

в) Векторы $$\vec m$$ и $$\vec n$$ противоположно направлены, значит $$k<0$$.

$$ 4\text{ дм}=400\text{ мм} $$
$$ 400=|k|\cdot 400 $$
$$ |k|=1 $$
Следовательно, $$k=-1$$.

г) Векторы $$\vec m$$ и $$\vec n$$ сонаправлены, значит $$k>0$$.

$$ \sqrt{50}=|k|\cdot \sqrt2 $$
$$ |k|=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt2}=\sqrt{25}=5 $$
Следовательно, $$k=5$$.

Теперь докажем, что четырёхугольник $$ABCD$$ — ромб.

Найдём длины его сторон по формуле расстояния между точками:

$$ AB=\sqrt{(-2-1)^2+(-3-4)^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58} $$
$$ BC=\sqrt{(1-8)^2+(4-7)^2}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58} $$
$$ CD=\sqrt{(8-5)^2+(7-0)^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58} $$
$$ AD=\sqrt{(-2-5)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58} $$

Получили, что $$AB=BC=CD=AD$$. Следовательно, $$ABCD$$ — ромб.

Найдём его площадь. Диагонали ромба равны:

$$ BD=\sqrt{(1-5)^2+(4-0)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt2 $$
$$ AC=\sqrt{(-2-8)^2+(-3-7)^2}=\sqrt{100+100}=\sqrt{200}=10\sqrt2 $$

Тогда

$$ S_{ABCD}=\frac12\cdot BD\cdot AC $$
$$ S_{ABCD}=\frac12\cdot 4\sqrt2\cdot 10\sqrt2=40 $$