Упр.997 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Один из углов прямоугольной трапеции равен $$120^\circ$$. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона трапеции равны $$a$$.
- Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$, вершины которого имеют координаты $$A(3; 2)$$, $$B(0; 5)$$, $$C(-3; 2)$$, $$D(0; -1)$$, является квадратом.
Пусть $$ABCD$$ — прямоугольная трапеция, $$\angle A=90^\circ$$, $$\angle C=120^\circ$$, меньшая диагональ $$AC=a$$, большая боковая сторона $$CD=a$$. Обозначим через $$M$$ и $$N$$ середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Тогда $$MN$$ — средняя линия трапеции.
Так как $$CD=a$$ и $$\triangle ACD$$ равнобедренный, то $$AC=CD=a$$. Следовательно, $$\triangle ACD$$ равнобедренный, а значит, высота $$CH$$ к основанию $$AD$$ является также биссектрисой и медианой.
Найдём угол при вершине $$C$$ в треугольнике $$BCD$$:
$$\angle HCD=\angle BCD-\angle BCH=120^\circ-90^\circ=30^\circ.$$
Так как $$CH$$ — биссектриса угла $$ACD$$, то
$$\angle ACH=\angle HCD=30^\circ.$$
Поскольку $$AB\parallel CD$$, то накрест лежащие углы при секущей $$AC$$ равны, значит
$$\angle BAC=\angle ACH=30^\circ.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$. В нём гипотенуза $$AC=a$$, а угол $$\angle BAC=30^\circ$$, поэтому
$$BC=\frac12 AC=\frac a2.$$
Так как $$CH$$ — медиана в равнобедренном треугольнике $$ACD$$, то
$$AH=HD.$$
Кроме того, в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем
$$AH=BC=\frac a2.$$
Тогда
$$AD=AH+HD=2AH=2\cdot \frac a2=a.$$
Теперь найдём среднюю линию трапеции. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины боковых сторон, то
$$MO=\frac12 AO,\qquad ON=\frac12 AD.$$
Из равенства $$AC=a$$ и того, что $$O$$ — середина диагонали $$AC$$, получаем
$$AO=\frac a2,$$
значит
$$MO=\frac12\cdot \frac a2=\frac a4.$$
Также
$$ON=\frac12 AD=\frac a2.$$
Следовательно,
$$MN=MO+ON=\frac a4+\frac a2=\frac{3a}{4}.$$
Ответ: $$\frac{3a}{4}$$.
