Упр.996 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Точки А и С — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки В и D — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство OA + OC=OB + OD. Вершины треугольника ABC имеют координаты А (-5; 13), В (3; 5), С(-3;-1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведённую к стороне АС; в) средние линии треугольника.

Обозначим середины сторон треугольника $$ABC$$ через $$M$$, $$N$$ и $$K$$:

• $$M$$ — середина $$AB$$;
• $$N$$ — середина $$BC$$;
• $$K$$ — середина $$AC$$.

Координаты середины отрезка находятся по формулам:

$$x=\frac{x_1+x_2}{2}, \qquad y=\frac{y_1+y_2}{2}.$$

а) Найдём координаты середин сторон.

Для $$M$$:
$$ x_M=\frac{-5+3}{2}=-1, \qquad y_M=\frac{13+5}{2}=9, $$
значит, $$M(-1;9).$$

Для $$N$$:
$$ x_N=\frac{3+(-3)}{2}=0, \qquad y_N=\frac{5+(-1)}{2}=2, $$
значит, $$N(0;2).$$

Для $$K$$:
$$ x_K=\frac{-5+(-3)}{2}=-4, \qquad y_K=\frac{13+(-1)}{2}=6, $$
значит, $$K(-4;6).$$

б) Найдём медиану, проведённую к стороне $$AC$$.

Медиана к стороне $$AC$$ — это отрезок $$BK$$. Его длина:

$$ BK=\sqrt{(3-(-4))^2+(5-6)^2} =\sqrt{7^2+(-1)^2} =\sqrt{50}=5\sqrt{2}. $$

в) Найдём средние линии треугольника.

Средние линии соединяют середины двух сторон треугольника:

• $$MN$$:

$$ MN=\sqrt{(-1-0)^2+(9-2)^2} =\sqrt{1+49} =\sqrt{50}=5\sqrt{2}; $$

• $$MK$$:

$$ MK=\sqrt{(-1-(-4))^2+(9-6)^2} =\sqrt{3^2+3^2} =\sqrt{18}=3\sqrt{2}; $$

• $$NK$$:

$$ NK=\sqrt{(0-(-4))^2+(2-6)^2} =\sqrt{4^2+(-4)^2} =\sqrt{32}=4\sqrt{2}. $$

Ответ

$$M(-1;9), \quad N(0;2), \quad K(-4;6);$$
$$BK=5\sqrt{2};$$
$$MN=5\sqrt{2}, \quad MK=3\sqrt{2}, \quad NK=4\sqrt{2}.$$