Упр.995 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC, О — произвольная точка. Докажите, что ОА + ОВ + ОС = 0А1 + ОВ1 + OC1. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек М1 (-2; 4) и М2 (6; 8).

Подробный ответ

Обозначим через $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ середины сторон $$BC,$$ $$CA,$$ $$AB$$ соответственно. Тогда по правилу сложения векторов:

$$\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AA_1},$$
$$\overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BB_1},$$
$$\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CC_1}.$$

Сложим эти равенства:

$$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}.$$

Осталось доказать, что

$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec 0.$$

Так как $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ — середины сторон треугольника, то

$$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC},$$
$$\overrightarrow{BB_1}=\frac12\overrightarrow{BA}+\frac12\overrightarrow{BC},$$
$$\overrightarrow{CC_1}=\frac12\overrightarrow{CA}+\frac12\overrightarrow{CB}.$$

Складывая, получаем:

$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1} =\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}) +\frac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}) +\frac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})=\vec 0.$$

Значит,

$$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$

Теперь найдём точку $$X(x;0),$$ равноудалённую от точек $$M_1(-2;4)$$ и $$M_2(6;8).$$

По условию $$XM_1=XM_2,$$ значит:

$$\sqrt{(-2-x)^2+(4-0)^2}=\sqrt{(6-x)^2+(8-0)^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$(-2-x)^2+16=(6-x)^2+64.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+4x+4+16=x^2-12x+36+64.$$

$$16x=80,$$

$$x=5.$$

Следовательно, искомая точка: