Упр.993 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Три точки А, В и С расположены так, что ВС = 1/2АВ. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство OB=1/3OA+2/3OC. Докажите, что углы А и С треугольника ABC равны, если А (-5; 6), В (3; -9) и С (-12; -17).
1) Обозначим радиус-векторы точек $$A,B,C,O$$ через $$\vec a,\vec b,\vec c,\vec o$$. Тогда
$$\vec{OB}=\vec b-\vec o,\qquad \vec{OA}=\vec a-\vec o,\qquad \vec{OC}=\vec c-\vec o.$$
По условию $$\vec{BC}=\frac12\vec{AB}.$$ Запишем это через радиус-векторы:
$$\vec c-\vec b=\frac12(\vec b-\vec a).$$
Умножим на $$2$$:
$$2\vec c-2\vec b=\vec b-\vec a,$$
откуда
$$\vec a+2\vec c=3\vec b.$$
Теперь выразим $$\vec{OB}$$:
$$3\vec{OB}=3(\vec b-\vec o)=\vec a+2\vec c-3\vec o=(\vec a-\vec o)+2(\vec c-\vec o)=\vec{OA}+2\vec{OC}.$$
Следовательно,
$$\vec{OB}=\frac13\vec{OA}+\frac23\vec{OC}.$$
2) Найдём длины сторон $$AB$$ и $$CB$$ по формуле расстояния между точками.
$$AB=\sqrt{(3-(-5))^2+(-9-6)^2}=\sqrt{8^2+(-15)^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17,$$
$$CB=\sqrt{(3-(-12))^2+(-9-(-17))^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17.$$
Получаем $$AB=CB$$, значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$. Поэтому его углы при основании равны:
$$\angle A=\angle C.$$
Ответ
$$\vec{OB}=\frac13\vec{OA}+\frac23\vec{OC},\qquad \angle A=\angle C.$$
