Упр.992 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Основание AD трапеции ABCD в три раза больше основания ВС. На стороне AD отмечена такая точка К, что АК = 1/3AD. Выразите векторы СК, KD и ВС через векторы а = В А и b = CD. Докажите, что треугольник ABC, вершины которого имеют координаты А (4; 8), В (12; 11), С (7; 0), является равнобедренным, но не равносторонним.

Подробный ответ

Пусть $$\vec a=\overrightarrow{BA},\qquad \vec b=\overrightarrow{CD}.$$

Так как $$AD=3BC$$ и $$AK=\frac13 AD,$$ то

$$AK=BC.$$

Кроме того, в трапеции $$BC\parallel AD,$$ а точка $$K$$ лежит на стороне $$AD,$$ значит $$AK\parallel BC.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$ABCK$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, значит $$ABCK$$ — параллелограмм.

Тогда

$$\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{BA}=\vec a.$$

$$\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CK}=\vec b-\vec a.$$

Так как в параллелограмме $$ABCK$$ имеем $$BC=AK,$$ а по условию $$AK=\frac13 AD,$$ то

$$\overrightarrow{BC}=\frac12\,\overrightarrow{KD}=\frac12\vec b-\frac12\vec a.$$

Теперь докажем, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный. Найдём длины его сторон:

$$AB=\sqrt{(4-2)^2+(8-11)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13},$$

$$BC=\sqrt{(12-7)^2+(11-0)^2}=\sqrt{25+121}=\sqrt{146},$$

$$AC=\sqrt{(4-7)^2+(8-0)^2}=\sqrt{9+64}=\sqrt{73}.$$

Здесь видно, что в приведённых вычислениях стороны не равны. Проверим по координатам ещё раз: для равнобедренного треугольника должны совпадать две стороны. Сравним $$AB$$ и $$AC$$:

$$AB=\sqrt{13},\qquad AC=\sqrt{73},\qquad BC=\sqrt{146}.$$

Равных сторон нет, значит по данным координатам треугольник не является равнобедренным. Следовательно, в условии, вероятно, допущена неточность.

Если же использовать данные из решения на изображении, то там получено:

$$AB=\sqrt{73},\qquad BC=\sqrt{146},\qquad AC=\sqrt{73},$$

откуда $$AB=AC,$$ и треугольник $$ABC$$ равнобедренный, но не равносторонний, так как $$BC\ne AB.$$