Упр.991 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На сторонах MN и NP треугольника MNP отмечены соответственно точки X и У так, что MX/XN=3/2 и NY/YP=3/2. Выразите векторы ХУ и МР через векторы a = NM и b = NP. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками М1 (x1; 0) и М2 (х2; 0) оси абсцисс вычисляется по формуле d = |x1-x2|.

Подробный ответ

Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{NM}, \qquad \vec b=\overrightarrow{NP}.$$

Из условия $$\frac{MX}{XN}=\frac{3}{2}$$ следует, что отрезок $$MN$$ разбит на $$5$$ равных частей, поэтому

$$\overrightarrow{NX}=\frac{2}{5}\overrightarrow{NM}=\frac{2}{5}\vec a.$$

Аналогично, из $$\frac{NY}{YP}=\frac{3}{2}$$ получаем, что $$NP$$ разбит на $$5$$ равных частей, значит

$$\overrightarrow{NY}=\frac{3}{5}\overrightarrow{NP}=\frac{3}{5}\vec b.$$

Тогда

$$\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{XN}+\overrightarrow{NY}=-\overrightarrow{NX}+\overrightarrow{NY}=-\frac{2}{5}\vec a+\frac{3}{5}\vec b.$$

Кроме того,

$$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=-\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=-\vec a+\vec b.$$

Докажем формулу для расстояния между точками $$M_1(x_1;0)$$ и $$M_2(x_2;0)$$ оси абсцисс:

$$ d=M_1M_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(0-0)^2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=|x_1-x_2|. $$