Упр.988 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что если векторы m иnсонаправлены, то |m + n| = |m| + |n|, a если m иn противоположно направлены, причём |m|>|n|, то |m + n| = |m|-|n|. Векторы а и b не коллинеарны. Найдите такое число х (если это возможно), чтобы векторы р и q были коллинеарны: а) p = 2a-b, q = a + xb; б) р = xa-b, q-a + xb; в) р = а + xb, q = а- 2b; г) p = 2a + b, q = xa + b

Если векторы $$\vec m$$ и $$\vec n$$ сонаправлены, то их длина суммы равна сумме длин:

$$|\vec m+\vec n|=|\vec m|+|\vec n|.$$

Если векторы $$\vec m$$ и $$\vec n$$ противоположно направлены и $$|\vec m|>|\vec n|$$, то длина суммы равна разности длин:

$$|\vec m+\vec n|=|\vec m|-|\vec n|.$$

Докажем это через отрезки на одной прямой. В первом случае точки можно расположить так, что $$AB$$ и $$BC$$ направлены одинаково, тогда

$$|AC|=|AB|+|BC|,$$

а значит,

$$|\vec m+\vec n|=|\vec m|+|\vec n|.$$

Во втором случае векторы направлены в разные стороны, причём больший по длине вектор «перекрывает» меньший. Тогда

$$|AC|=|AB|-|BC|,$$

следовательно,

$$|\vec m+\vec n|=|\vec m|-|\vec n|.$$

Теперь найдём значения $$x$$, при которых векторы $$\vec p$$ и $$\vec q$$ коллинеарны. Так как $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны, то для коллинеарности векторов $$\vec p$$ и $$\vec q$$ их коэффициенты при $$\vec a$$ и $$\vec b$$ должны быть пропорциональны.

а) $$\vec p=2\vec a-\vec b,\quad \vec q=\vec a+x\vec b.$$

Тогда

$$\frac{2}{1}=\frac{-1}{x}.$$

Отсюда

$$2x=-1,\qquad x=-\frac{1}{2}.$$

б) $$\vec p=x\vec a-\vec b,\quad \vec q=\vec a+x\vec b.$$

Для коллинеарности должно быть

$$\frac{x}{1}=\frac{-1}{x}.$$

Тогда

$$x^2=-1.$$

Действительных решений нет, значит, при действительном $$x$$ векторы $$\vec p$$ и $$\vec q$$ не коллинеарны.

в) $$\vec p=\vec a+x\vec b,\quad \vec q=\vec a-2\vec b.$$

Имеем

$$\frac{1}{1}=\frac{x}{-2}.$$

Следовательно,

$$x=-2.$$

г) $$\vec p=2\vec a+\vec b,\quad \vec q=x\vec a+\vec b.$$

Тогда

$$\frac{2}{x}=\frac{1}{1}.$$

Отсюда

$$x=2.$$

Ответ

$$|\vec m+\vec n|=|\vec m|+|\vec n|$$ при сонаправленных векторах; $$|\vec m+\vec n|=|\vec m|-|\vec n|$$ при противоположно направленных и $$|\vec m|>|\vec n|$$.

а) $$x=-\frac{1}{2}$$; б) решений нет; в) $$x=-2$$; г) $$x=2$$.