Упр.984 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Из концов диаметра $$CD$$ данной окружности проведены перпендикуляры $$CC_1$$ и $$DD_1$$ к касательной, не перпендикулярной к диаметру $$CD$$. Найдите $$DD_1$$, если $$CC_1=11\text{ см}$$, а $$CD=27\text{ см}$$.
- Даны две точки $$A$$ и $$B$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых $$AM^2-BM^2=k$$, где $$k$$ — данное число.
Обозначим радиус окружности через $$r$$. Так как прямая $$a$$ касается окружности, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $$OO_1 \perp a$$, а также $$CC_1 \perp a$$ и $$DD_1 \perp a$$, поэтому
$$DD_1 \parallel OO_1 \parallel CC_1.$$
Точки $$C, O, D$$ лежат на одной прямой, причём $$CD$$ — диаметр, значит
$$OC=OD=r.$$
Рассмотрим трапецию $$CDD_1C_1$$. Прямая $$OO_1$$ проходит через середину отрезка $$CD$$, а так как $$DD_1 \parallel OO_1 \parallel CC_1$$, то по теореме Фалеса точка $$O_1$$ — середина отрезка $$D_1C_1$$. Следовательно, $$OO_1$$ — средняя линия трапеции $$CDD_1C_1$$, и
$$OO_1=\frac{DD_1+CC_1}{2}.$$
Но $$OO_1=r=\frac{CD}{2}=\frac{27}{2}=13{,}5\text{ см}.$$ Тогда
$$13{,}5=\frac{DD_1+11}{2}.$$
Отсюда
$$DD_1+11=27,$$
$$DD_1=16\text{ см}.$$
Ответ: $$16\text{ см}$$.
