Упр.983 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2 + ВМ2 = k2, где k — данное число.

Введём систему координат так, чтобы $$A(0;0)$$, $$B(a;0)$$, а точка $$M$$ имела координаты $$M(x;y)$$.

Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,$$

$$BM^2=(a-x)^2+y^2.$$

По условию

$$AM^2+BM^2=k^2,$$

значит,

$$x^2+y^2+(a-x)^2+y^2=k^2.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$2x^2-2ax+a^2+2y^2=k^2,$$

$$2\left(x^2-ax+\frac{a^2}{4}\right)+2y^2=k^2-\frac{a^2}{2},$$

$$2\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+2y^2=k^2-\frac{a^2}{2}.$$

Делим на $$2$$:

$$\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\frac{2k^2-a^2}{4}.$$

Это уравнение окружности с центром в точке $$\left(\frac{a}{2};0\right)$$ и радиусом

$$R=\sqrt{\frac{2k^2-a^2}{4}}.$$

Следовательно, множество всех точек $$M$$ — окружность с центром в середине отрезка $$AB$$.

Ответ

Множество всех точек $$M$$ — окружность с центром в середине отрезка $$AB$$ и радиусом $$R=\sqrt{\frac{2k^2-a^2}{4}}$$.