Упр.982 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Сторона АВ треугольника ABC разделена на четыре равные части, и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне ВС. Стороны АВ и АС треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из которых равен 3,4 см. Найдите два других отрезка.
Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых:
а) $$AM^2+BM^2+CM^2=50$$;
б) $$AM^2+2BM^2+3CM^2=4$$.

Подробный ответ

Пусть точки деления стороны $$AB$$ — это $$B_1, B_2, B_3$$, а прямые через них, параллельные $$BC$$, пересекают сторону $$AC$$ в точках $$C_1, C_2, C_3$$.

Так как $$B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B$$ и $$B_1C_1 \parallel B_2C_2 \parallel B_3C_3 \parallel BC$$, то по теореме Фалеса

$$AC_1 = C_1C_2 = C_2C_3 = C_3C.$$

Рассмотрим треугольник $$AB_2C_2$$. Отрезок $$B_1C_1$$ в нём является средней линией, значит

$$B_1C_1=\frac{1}{2}B_2C_2.$$

По условию $$B_1C_1=3{,}4$$ см, следовательно

$$B_2C_2=2\cdot 3{,}4=6{,}8\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим трапецию $$C_2B_2BC$$. Отрезок $$B_3C_3$$ в ней является средней линией, поэтому

$$B_3C_3=\frac{B_2C_2+BC}{2}.$$

Так как $$C_2B_2$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, то

$$BC=2\cdot B_2C_2=2\cdot 6{,}8=13{,}6\text{ см}.$$

Тогда

$$B_3C_3=\frac{6{,}8+13{,}6}{2}=10{,}2\text{ см}.$$