Упр.98 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года.
Отрезки $$AE$$ и $$DC$$ пересекаются в точке $$B$$, являющейся серединой каждого из них.
а) Докажите, что треугольники $$ABC$$ и $$EBD$$ равны;
б) найдите углы $$A$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$, если в треугольнике $$BDE$$ угол $$D = 47^\circ$$, угол $$E = 42^\circ$$.
Задание учебника 2023 года.
В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ $$AB = A_1B_1$$, $$AC = A_1C_1$$, угол $$A = A_1$$. На сторонах $$AB$$ и $$A_1B_1$$ отмечены точки $$P$$ и $$P_1$$ так, что $$AP = A_1P_1$$. Докажите, что треугольник $$BPC = B_1P_1C_1$$.

Подробный ответ

Так как точки $$A, B, E$$ лежат на одной прямой, а точки $$D, B, C$$ — на одной прямой, то углы $$\angle DBE$$ и $$\angle ABC$$ — вертикальные. Следовательно,

$$\angle DBE=\angle ABC.$$

Кроме того, по условию $$B$$ — середина отрезков $$AE$$ и $$DC$$, значит

$$AB=BE,\qquad DB=BC.$$

Тогда треугольники $$ABC$$ и $$EBD$$ равны по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

$$\angle A=\angle E=42^\circ,$$

$$\angle C=\angle D=47^\circ.$$

Проверим сумму углов треугольника $$ABC$$:

$$\angle B=180^\circ-42^\circ-47^\circ=91^\circ.$$