Упр.979 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам. Найдите ординату точки М, лежащей на прямой АВ, если известно, что А (-8; -6), В (-3; -1) и абсцисса точки М равна 5.

Подробный ответ

1) Пусть в четырёхугольнике $$ABCD$$ точки $$E$$, $$F$$, $$M$$, $$N$$ — середины сторон $$AB$$, $$CD$$, $$AD$$, $$BC$$ соответственно. Обозначим точку пересечения отрезков $$EF$$ и $$MN$$ через $$O$$.

Так как $$E$$ и $$M$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AD$$, то в треугольнике $$ABD$$ отрезок $$EM$$ является средней линией, значит $$EM \parallel BD$$ и $$EM=\frac{1}{2}BD$$.

Аналогично, в треугольнике $$BCD$$ отрезок $$FN$$ — средняя линия, поэтому $$FN \parallel BD$$ и $$FN=\frac{1}{2}BD$$.

Следовательно, $$EM \parallel FN$$ и $$EM=FN$$. Значит, четырёхугольник $$EMFN$$ — параллелограмм. Его диагонали $$EF$$ и $$MN$$ точкой пересечения делятся пополам, то есть

$$EO=OF,\qquad MO=ON.$$

2) Найдём ординату точки $$M$$. Прямая $$AB$$ проходит через точки $$A(-8;-6)$$ и $$B(-3;-1)$$.

Угловой коэффициент прямой:

$$k=\frac{-1-(-6)}{-3-(-8)}=\frac{5}{5}=1.$$

Тогда уравнение прямой имеет вид $$y=x+b$$. Подставим координаты точки $$A(-8;-6)$$:

$$-6=-8+b,$$

откуда $$b=2$$. Значит, уравнение прямой $$AB$$:

$$y=x+2.$$

Так как точка $$M$$ лежит на прямой $$AB$$ и её абсцисса равна $$5$$, получаем:

$$y=5+2=7.$$