Упр.978 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований. Начертите прямую, заданную уравнением: а) у = 3; б) х = -2; в) у = -4; г) х= 7.
Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, а диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точках так, что $$AM=MC$$ и $$BN=ND$$, то есть $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей.
Рассмотрим векторы:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN},$$
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}.$$
Сложим эти равенства:
$$ 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} +\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN} +\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}. $$
Так как $$M$$ — середина $$AC$$, то $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\vec 0$$, а так как $$N$$ — середина $$BD$$, то $$\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}=\vec 0$$. Тогда
$$ 2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}. $$
Следовательно,
$$ \overrightarrow{MN}=\frac{\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}}{2}. $$
Так как $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ направлены вдоль оснований трапеции, то $$\overrightarrow{MN}$$ тоже направлен вдоль оснований. Значит,
$$MN \parallel AD \parallel BC.$$
Кроме того, длина этого отрезка равна половине разности оснований:
$$ MN=\frac{1}{2}\,|AD-BC|. $$
Теперь начертим прямые по уравнениям:
- $$y=3$$ — горизонтальная прямая, параллельная оси $$Ox$$;
- $$x=-2$$ — вертикальная прямая, параллельная оси $$Oy$$;
- $$y=-4$$ — горизонтальная прямая, параллельная оси $$Ox$$;
- $$x=7$$ — вертикальная прямая, параллельная оси $$Oy$$.
Для построения достаточно отметить на координатной плоскости точки с указанными координатами и провести через них соответствующие прямые.
Ответ
$$MN \parallel AD \parallel BC,\qquad MN=\frac{1}{2}\,|AD-BC|.$$
Прямые: $$y=3$$, $$x=-2$$, $$y=-4$$, $$x=7$$.
