Упр.978 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.
2. Начертите прямую, заданную уравнением: а) $$y=3$$; б) $$x=-2$$; в) $$y=-4$$; г) $$x=7$$.

Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, а точки $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно.

Докажем, что отрезок $$MN$$ параллелен основаниям трапеции и равен половине разности их длин.

Рассмотрим векторы:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$$

и

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}.$$

Сложим эти равенства:

$$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} +\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN} +\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}.$$

Так как $$M$$ — середина $$AC$$, то $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$$, а так как $$N$$ — середина $$BD$$, то $$\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}=\vec{0}$$. Тогда

$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MN}=\frac{\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}}{2}.$$

Поскольку $$AD \parallel BC$$, векторы $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ коллинеарны, значит и $$\overrightarrow{MN}$$ коллинеарен им. Поэтому

$$MN \parallel AD \parallel BC.$$

Кроме того, длина отрезка $$MN$$ равна половине разности оснований:

$$MN=\frac{1}{2}\,|AD-BC|.$$

Итак, отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен половине разности оснований.