Упр.977 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На сторонах треугольника $$ABC$$ построены параллелограммы $$ABB_1A_2$$, $$BCC_1B_2$$, $$ACC_2A_1$$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2$$.
- Напишите уравнения прямых, проходящих через точку $$M(2;5)$$ и параллельных осям координат.
Обозначим векторы сторон построенных параллелограммов:
$$\overrightarrow{AA_2}=\overrightarrow{BB_1},\qquad \overrightarrow{BB_2}=\overrightarrow{CC_1},\qquad \overrightarrow{CC_2}=\overrightarrow{AA_1}.$$
Тогда
$$\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AA_2},$$
$$\overrightarrow{B_1B_2}=\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{BB_2},$$
$$\overrightarrow{C_1C_2}=\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{CC_2}.$$
Сложим эти равенства:
$$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{C_1C_2} = (\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{CC_2}) +(\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{AA_2}) +(\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{BB_2}).$$
Но по свойству параллелограммов
$$\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{CC_2}=\vec 0,\qquad \overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{AA_2}=\vec 0,\qquad \overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{BB_2}=\vec 0,$$
значит,
$$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{C_1C_2}=\vec 0.$$
А это означает, что векторы $$\overrightarrow{A_1A_2},\ \overrightarrow{B_1B_2},\ \overrightarrow{C_1C_2}$$ можно расположить как стороны некоторого треугольника. Следовательно, существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $$A_1A_2,$$ $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2.$$
