Упр.977 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы АВВ1А2, ВСС1В2, АСС2А1. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам А1А2, В1В2 и С1С2. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М (2; 5) и параллельных осям координат.

Подробный ответ

Обозначим векторы сторон построенных параллелограммов:

$$\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{AA_2}+\overrightarrow{A_1A},\quad \overrightarrow{B_1B_2}=\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{BB_2},\quad \overrightarrow{C_1C_2}=\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{CC_2}.$$

Так как $$ABB_1A_2,$$ $$BCC_1B_2$$ и $$ACC_2A_1$$ — параллелограммы, то

$$\overrightarrow{AA_2}=\overrightarrow{BB_1},\quad \overrightarrow{BB_2}=\overrightarrow{CC_1},\quad \overrightarrow{CC_2}=\overrightarrow{AA_1}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AA_2},$$
$$\overrightarrow{B_1B_2}=\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{BB_2},$$
$$\overrightarrow{C_1C_2}=\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{CC_2}.$$

Складывая эти равенства, получаем:

$$ \overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{C_1C_2} = (\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AA_1}) +(\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{BB_1}) +(\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{CC_1}) =\vec 0. $$

Если сумма трёх векторов равна нулю, то их можно расположить как стороны треугольника. Значит, существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $$A_1A_2,$$ $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2.$$

Прямые, проходящие через точку $$M(2;5)$$ и параллельные осям координат:

$$l_1:\ y=5,$$
$$l_2:\ x=2.$$