Упр.976 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника ABC.
- Найдите координаты точки пересечения прямых $$4x+3y-6=0$$ и $$2x+y-4=0$$.
Пусть $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$.
По свойству медианы треугольника имеем:
$$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right),$$
$$\overrightarrow{BB_1}=\frac12\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right),$$
$$\overrightarrow{CC_1}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right).$$
Сложим эти векторы:
$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1} =\frac12\Bigl((\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})\Bigr)=\vec 0.$$
Значит, если последовательно отложить векторы $$\overrightarrow{AA_1},$$ $$\overrightarrow{BB_1},$$ $$\overrightarrow{CC_1}$$ по правилу многоугольника, то получится замкнутый треугольник. Обозначим его $$PMN$$ так, что
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AA_1},\qquad \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{BB_1},\qquad \overrightarrow{PM}=\overrightarrow{CC_1}.$$
Следовательно, существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника $$ABC$$.
