Упр.976 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника ABC. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + Зy — 6 = 0 и 2х + у — 4=0.

Подробный ответ

Обозначим середины сторон $$BC,\ CA,\ AB$$ соответственно через $$A_1,\ B_1,\ C_1$$. Тогда $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$.

По свойству медианы треугольника имеем:

$$ \overrightarrow{AA_1}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right),\qquad \overrightarrow{BB_1}=\frac12\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right),\qquad \overrightarrow{CC_1}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right). $$

Сложим эти векторы:

$$ \overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1} =\frac12\Bigl((\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})\Bigr)=\overrightarrow{0}. $$

Значит, векторы $$\overrightarrow{AA_1},\ \overrightarrow{BB_1},\ \overrightarrow{CC_1}$$ можно расположить по правилу многоугольника так, чтобы они образовали замкнутый треугольник. Следовательно, существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника $$ABC$$.

Найдём координаты точки пересечения прямых

$$ 4x+3y-6=0,\qquad 2x+y-4=0. $$

Из второго уравнения:

$$ y=4-2x. $$

Подставим в первое:

$$ 4x+3(4-2x)-6=0, $$

$$ 4x+12-6x-6=0, $$

$$ -2x+6=0,\qquad x=3. $$

Тогда

$$ y=4-2\cdot 3=-2. $$

Следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты $$A(3;\,-2)$$.