Упр.970 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD, точка G — середина стороны ВС. Выразите векторы ЕС и AG через векторы DC = а и ВС = b. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А(1;3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окружностей?

Подробный ответ

1) Обозначим через $$\vec{AB}=\vec{DC}=\vec a$$ и $$\vec{BC}=\vec b$$.

Тогда в параллелограмме $$ABCD$$ имеем:

$$\vec{AG}=\vec{AB}+\vec{BG}.$$

Так как $$G$$ — середина стороны $$BC$$, то

$$\vec{BG}=\frac{1}{2}\vec{BC}=\frac{1}{2}\vec b.$$

Следовательно,

$$\vec{AG}=\vec a+\frac{1}{2}\vec b.$$

2) Найдём вектор $$\vec{EC}$$:

$$\vec{EC}=\vec{ED}+\vec{DC}.$$

Так как $$E$$ — середина стороны $$AD$$, то $$\vec{ED}=\frac{1}{2}\vec{AD}.$$

В параллелограмме $$\vec{AD}=\vec{BC}=\vec b,$$ значит

$$\vec{ED}=\frac{1}{2}\vec b.$$

Тогда

$$\vec{EC}=\frac{1}{2}\vec b+\vec a.$$

3) Пусть центр окружности имеет координаты $$O(x;0)$$, так как он лежит на оси абсцисс. Радиус равен $$5$$, а окружность проходит через точку $$A(1;3)$$.

Тогда

$$OA=5,$$

то есть

$$\sqrt{(1-x)^2+(3-0)^2}=5.$$

Возведём в квадрат:

$$ (1-x)^2+9=25 \\ (1-x)^2=16 \\ 1-x=\pm 4 $$

Отсюда

$$x=-3 \quad \text{или} \quad x=5.$$

Значит, возможны два центра окружности: $$O_1(-3;0)$$ и $$O_2(5;0).$$

Уравнения этих окружностей:

$$ (x+3)^2+y^2=25, \\ (x-5)^2+y^2=25. $$