Упр.961 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что для любых двух векторов х и у справедливо неравенство |x-y|<|x|+|y|. В каком случае |х-у| = |х| + |у|? Окружность задана уравнением (x + 5)2 + (у - 1)2= 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А (-2; 4), В (-5; -3), С (-7; -2) и D (1; 5) лежат: а) внутри круга, ограниченного данной окружностью; 6) на окружности; в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

Докажем неравенство $$|\vec x-\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$

Векторы $$\vec x$$, $$\vec y$$ и $$\vec x-\vec y$$ можно рассматривать как стороны треугольника. Тогда по неравенству треугольника

$$|\vec x-\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$

Равенство $$|\vec x-\vec y|=|\vec x|+|\vec y|$$ возможно тогда и только тогда, когда векторы $$\vec x$$ и $$\vec y$$ коллинеарны и противоположно направлены, либо один из них равен нулевому вектору.

Теперь рассмотрим окружность

$$ (x+5)^2+(y-1)^2=16. $$

Её центр $$O(-5;1)$$, радиус $$R=4$$.

Проверим точки по значению выражения $$ (x+5)^2+(y-1)^2 $$.

1) $$A(-2;4):$$

$$(-2+5)^2+(4-1)^2=3^2+3^2=9+9=18>16,$$

значит, точка $$A$$ лежит вне круга.

2) $$B(-5;-3):$$

$$(-5+5)^2+(-3-1)^2=0^2+(-4)^2=16,$$

значит, точка $$B$$ лежит на окружности.

3) $$C(-7;-2):$$

$$(-7+5)^2+(-2-1)^2=(-2)^2+(-3)^2=4+9=13<16,$$

значит, точка $$C$$ лежит внутри круга.

4) $$D(1;5):$$

$$ (1+5)^2+(5-1)^2=6^2+4^2=36+16=52>16,$$

значит, точка $$D$$ лежит вне круга.

Ответ

$$|\vec x-\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$ Равенство возможно, если $$\vec x$$ и $$\vec y$$ коллинеарны и противоположно направлены, либо один из векторов равен $$\vec 0$$.

а) внутри круга — $$C$$; б) на окружности — $$B$$; в) вне круга — $$A$$ и $$D$$.