Упр.960 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что ХА + ХС = ХВ + XD, где X — произвольная точка плоскости. Какие из точек А (3; -4), В (1; 0), С (0; 5), D (0; 0) и Е (0; 1) лежат на окружности, заданной уравнением: а) х2 + у2 = 25; б) (х — 1)2 + (у + З)2 = 9; в) (x-1/2)2-у2=1/4

Обозначим через $$\vec{XA}, \vec{XB}, \vec{XC}, \vec{XD}$$ векторы с началом в точке $$X$$.

По правилу треугольника

$$\vec{XA}-\vec{XB}=\vec{BA},$$

$$\vec{XD}-\vec{XC}=\vec{CD}.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то противоположные стороны равны и параллельны, значит

$$\vec{BA}=\vec{CD}.$$

Следовательно,

$$\vec{XA}-\vec{XB}=\vec{XD}-\vec{XC}.$$

Перенесём слагаемые:

$$\vec{XA}+\vec{XC}=\vec{XB}+\vec{XD}.$$

Теперь проверим, какие из данных точек лежат на каждой окружности.

а) $$x^2+y^2=25$$

Для точки $$A(3;-4)$$:

$$3^2+(-4)^2=9+16=25,$$

значит, $$A$$ лежит на окружности.

Для точки $$C(0;5)$$:

$$0^2+5^2=25,$$

значит, $$C$$ тоже лежит на окружности.

Остальные точки не подходят.

б) $$(x-1)^2+(y+3)^2=9$$

Для точки $$B(1;0)$$:

$$ (1-1)^2+(0+3)^2=0+9=9,$$

значит, $$B$$ лежит на окружности.

Остальные точки не подходят.

в) $$(x-\tfrac12)^2+y^2=\tfrac14$$

Для точки $$B(1;0)$$:

$$\left(1-\tfrac12\right)^2+0^2=\left(\tfrac12\right)^2=\tfrac14,$$

значит, $$B$$ лежит на окружности.

Для точки $$D(0;0)$$:

$$\left(0-\tfrac12\right)^2+0^2=\left(-\tfrac12\right)^2=\tfrac14,$$

значит, $$D$$ тоже лежит на окружности.

Ответ

$$\vec{XA}+\vec{XC}=\vec{XB}+\vec{XD}.$$

а) $$A$$ и $$C$$; б) $$B$$; в) $$B$$ и $$D$$.