Упр.960 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан параллелограмм $$ABCD$$. Докажите, что $$XA+XC=XB+XD$$, где $$X$$ — произвольная точка плоскости.
2. Какие из точек $$A(3;-4)$$, $$B(1;0)$$, $$C(0;5)$$, $$D(0;0)$$ и $$E(0;1)$$ лежат на окружности, заданной уравнением:
   а) $$x^2+y^2=25$$;
   б) $$(x-1)^2+(y+3)^2=9$$;
   в) $$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=\frac{1}{4}$$?

Обозначим через $$\vec{XA},\ \vec{XB},\ \vec{XC},\ \vec{XD}$$ векторы с началом в точке $$X$$.

Тогда по правилу треугольника

$$\vec{XA}-\vec{XB}=\vec{BA},$$

$$\vec{XD}-\vec{XC}=\vec{CD}.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то противоположные стороны равны и параллельны, значит

$$\vec{BA}=\vec{CD}.$$

Следовательно,

$$\vec{XA}-\vec{XB}=\vec{XD}-\vec{XC}.$$

Перенесём слагаемые:

$$\vec{XA}+\vec{XC}=\vec{XB}+\vec{XD}.$$

Что и требовалось доказать.