Упр.958 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b, если: а) а = АВ, b = ВС; б) а = СВ, b = CD; в) а = АВ, b = DA. ан прямоугольник ABCD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство AM2 + СМ2 = ВМ2 + DM2.
а) В параллелограмме $$ABCD$$ по правилу треугольника
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$
Так как $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec b=\overrightarrow{BC}$$, то
$$\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b.$$
б) В параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}.$$ Тогда
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}.$$
Но $$\vec a=\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$$, значит $$\overrightarrow{BC}=-\vec a$$, а $$\vec b=\overrightarrow{CD}.$$ Следовательно,
$$\overrightarrow{AC}=-\vec a-\vec b.$$
в) По правилу треугольника
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$
Так как $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$, а $$\vec b=\overrightarrow{DA}$$, то $$\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA}=-\vec b.$$ Поэтому
$$\overrightarrow{AC}=\vec a-\vec b.$$
Доказательство. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы
$$A(0;0),\quad B(0;c),\quad C(a;c),\quad D(a;0),\quad M(x;y).$$
Тогда
$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$CM^2=(x-a)^2+(y-c)^2,$$
$$BM^2=x^2+(y-c)^2,$$
$$DM^2=(x-a)^2+y^2.$$
Сложим попарно:
$$AM^2+CM^2=x^2+y^2+(x-a)^2+(y-c)^2,$$
$$BM^2+DM^2=x^2+(y-c)^2+(x-a)^2+y^2.$$
Полученные выражения равны, значит
$$AM^2+CM^2=BM^2+DM^2.$$
Ответ
а) $$\vec a+\vec b$$; б) $$-\vec a-\vec b$$; в) $$\vec a-\vec b$$; $$AM^2+CM^2=BM^2+DM^2$$.
