Упр.953 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пусть $$X$$, $$Y$$ и $$Z$$ — произвольные точки. Докажите, что векторы $$p=XY+ZX+YZ$$, $$q=(XY-XZ)+YZ$$ и $$r=(ZY-XY)-ZX$$ нулевые.
2. Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Обозначим векторы через координаты точек:

$$\vec p=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{YZ}$$

По правилу сложения векторов для многоугольника имеем

$$\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}.$$

Тогда

$$\vec p=\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZX}=\vec 0.$$

Далее

$$\vec q=(\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ})+\overrightarrow{YZ}.$$

Так как $$-\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{ZX},$$ то

$$\vec q=(\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX})+\overrightarrow{YZ}.$$

По правилу треугольника

$$\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ},$$

значит

$$\vec q=\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZX}=\vec 0.$$

Наконец,

$$\vec r=(\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{XY})-\overrightarrow{ZX}.$$

Преобразуем:

$$\vec r=(\overrightarrow{ZY}+\overrightarrow{YX})+\overrightarrow{XZ}.$$

Но

$$\overrightarrow{ZY}+\overrightarrow{YX}=\overrightarrow{ZX},$$

следовательно

$$\vec r=\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{XZ}=\vec 0.$$

Итак, все три вектора нулевые:

$$\vec p=\vec q=\vec r=\vec 0.$$