Упр.952 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение: а) (АВ + ВС- МС) + (MD — KD); б) (CB + AC + BD)-(MK + KD). Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Пользуясь правилом многоугольника, упростим выражения:

а) $$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{MC}\right)+\left(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{KD}\right)$$

Так как $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$ и $$-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CM}$$, а также $$-\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{DK}$$, получаем:

$$\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}\right)+\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DK}\right)=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AK}.$$

б) $$\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)-\left(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KD}\right)$$

Преобразуем:

$$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB},$$

поэтому

$$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\right)-\left(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KD}\right)=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{MD}.$$

Так как $$-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DM},$$ то

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}.$$

Докажем, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Пусть $$\triangle ABC$$ прямоугольный, $$AB$$ — гипотенуза, $$M$$ — середина $$AB$$. Введём координаты так, чтобы
$$C(0;0),\ A(0;b),\ B(a;0).$$
Тогда координаты середины отрезка $$AB$$:

$$M\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2}\right).$$

Найдём расстояния от точки $$M$$ до вершин треугольника:

$$ MA=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-0\right)^2+\left(\frac{b}{2}-b\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}, $$

$$ MB=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-a\right)^2+\left(\frac{b}{2}-0\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}, $$

$$ MC=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-0\right)^2+\left(\frac{b}{2}-0\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}. $$

Следовательно,
$$MA=MB=MC,$$
то есть середина гипотенузы равноудалена от всех вершин треугольника.

Ответ: а) $$\overrightarrow{AK}$$; б) $$\overrightarrow{AM}$$; $$MA=MB=MC$$.