Упр.950 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Сторона равностороннего треугольника $$ABC$$ равна $$a$$. Найдите: а) $$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|$$; б) $$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$$; в) $$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}|$$; г) $$|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|$$; д) $$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$$.
Докажите, что четырёхугольник $$MNPQ$$ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: а) $$M(1;1),\ N(6;1),\ P(7;4),\ Q(2;4)$$; б) $$M(-5;1),\ N(-4;4),\ P(-1;5),\ Q(-2;2)$$.

Подробный ответ

а) По правилу треугольника

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$$

Так как $$ABC$$ — равносторонний треугольник, то $$|AC|=a$$. Значит,

$$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=a.$$

б) Сумма векторов $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$$ равна диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. В равностороннем треугольнике угол между ними равен $$60^\circ$$, поэтому

$$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|^2=|AB|^2+|AC|^2+2|AB|\cdot|AC|\cos 60^\circ.$$

Подставим $$|AB|=|AC|=a$$:

$$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|^2=a^2+a^2+2a^2\cdot \frac12=3a^2,$$

откуда

$$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=a\sqrt3.$$

в) Используем равенство $$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}$$ и то, что в построении получается ромб, у которого диагональ $$CE$$ равна диагонали $$AD$$. Тогда

$$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}|=|CE|=|AD|=a\sqrt3.$$

г) По правилу треугольника

$$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}.$$

Следовательно,

$$|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|=|CA|=a.$$

д) Аналогично

$$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB},$$

поэтому

$$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|CB|=a.$$

Ответ: а) $$a$$; б) $$a\sqrt3$$; в) $$a\sqrt3$$; г) $$a$$; д) $$a$$.