Упр.948 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов х и у справедливо неравенство |x + y|<|x|+|y|. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек: а) А (-3; 5) и B (6; 4); б) С (4; -3) и D (8; 1).
Докажем неравенство $$|\vec x+\vec y|<|\vec x|+|\vec y|.$$
Так как векторы $$\vec x$$ и $$\vec y$$ не коллинеарны, то они не лежат на одной прямой. Построим треугольник, у которого две стороны равны этим векторам. Тогда по правилу треугольника
$$\vec x+\vec y=\overrightarrow{AC}.$$
Следовательно,
$$|\vec x+\vec y|=AC,\quad |\vec x|=AB,\quad |\vec y|=BC.$$
Так как точки $$A, B, C$$ не лежат на одной прямой, то $$ABC$$ — треугольник. По неравенству треугольника
$$AC<AB+BC.$$
Подставляя обозначения длин, получаем
$$|\vec x+\vec y|<|\vec x|+|\vec y|.$$
Теперь найдём точки на оси ординат, равноудалённые от данных точек.
а) Пусть искомая точка имеет вид $$C(0;y)$$. Тогда по условию $$CA=CB$$, где $$A(-3;5)$$ и $$B(6;4)$$.
Запишем расстояния:
$$CA=\sqrt{(0+3)^2+(y-5)^2}=\sqrt{9+(y-5)^2},$$
$$CB=\sqrt{(6-0)^2+(y-4)^2}=\sqrt{36+(y-4)^2}.$$
Из равенства $$CA=CB$$ получаем
$$9+(y-5)^2=36+(y-4)^2,$$
$$y=-9.$$
Значит, $$C(0;-9).$$
б) Пусть искомая точка имеет вид $$E(0;y)$$. Тогда по условию $$CE=ED$$, где $$C(4;-3)$$ и $$D(8;1)$$.
Запишем расстояния:
$$CE=\sqrt{(0-4)^2+(y+3)^2}=\sqrt{16+(y+3)^2},$$
$$ED=\sqrt{(8-0)^2+(1-y)^2}=\sqrt{64+(1-y)^2}.$$
Из равенства $$CE=ED$$ получаем
$$16+(y+3)^2=64+(1-y)^2,$$
$$y=5.$$
Значит, $$E(0;5).$$
Ответ
$$|\vec x+\vec y|<|\vec x|+|\vec y|;$$ а) $$C(0;-9);$$ б) $$E(0;5).$$
