Упр.947 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан произвольный четырёхугольник $$MNPQ$$. Докажите, что: а) $$MN + NQ = MP + PQ$$; б) $$MN + NP = MQ + QP$$.
2. Докажите, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) $$A(0; 1), B(1; -4), C(5; 2)$$; б) $$A(-4; 1), B(-2; 4), C(0; 1)$$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. а) $$A(0;1),\ B(1;-4),\ C(5;2).$$

   Найдём длины сторон:

   $$AB=\sqrt{(1-0)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26},$$
   $$BC=\sqrt{(5-1)^2+(2+4)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13},$$
   $$AC=\sqrt{(5-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}.$$

   Получаем $$AB=AC$$, значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

   Так как вершина равнобедренного треугольника — точка $$A$$, то медиана $$AM$$ к основанию $$BC$$ является и высотой.

   Найдём координаты середины отрезка $$BC$$:

   $$x_M=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{1+5}{2}=3,\qquad y_M=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{-4+2}{2}=-1.$$

   Значит, $$M(3;-1)$$.

   Тогда

   $$AM=\sqrt{(3-0)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.$$

   Площадь треугольника:

   $$S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot AM=\frac12\cdot 2\sqrt{13}\cdot \sqrt{13}=13.$$

2. б) $$A(-4;1),\ B(-2;4),\ C(0;1).$$

   Найдём длины сторон:

   $$AB=\sqrt{(-2+4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13},$$
   $$BC=\sqrt{(0+2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13},$$
   $$AC=\sqrt{(0+4)^2+(1-1)^2}=\sqrt{16}=4.$$

   Получаем $$AB=BC$$, значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

   Так как вершина равнобедренного треугольника — точка $$B$$, то медиана $$BM$$ к основанию $$AC$$ является и высотой.

   Найдём координаты середины отрезка $$AC$$:

   $$x_M=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{-4+0}{2}=-2,\qquad y_M=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{1+1}{2}=1.$$

   Значит, $$M(-2;1)$$.

   Тогда

   $$BM=\sqrt{(-2+2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{0+9}=3.$$

   Площадь треугольника:

   $$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BM=\frac12\cdot 4\cdot 3=6.$$

Ответ

а) $$13$$; б) $$6$$.