Упр.938 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что если векторы АВ и CD равны, то середины отрезков AD и ВС совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и ВС совпадают, то АВ = CD. Найдите длины векторов: а) а {5; 9}; б) b {-3; 4}; в) с {-10; -10}; г) d {10; 17}; д) е {11; -11}; е) f {10; 0}.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ точку пересечения отрезков $$AD$$ и $$BC$$.

Если $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$, то эти векторы равны по длине и сонаправлены. Значит, $$AB=CD$$ и $$AB \parallel CD$$. Тогда в четырёхугольнике $$ABCD$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому точка $$O$$ — середина и отрезка $$AD$$, и отрезка $$BC$$. Значит, середины отрезков $$AD$$ и $$BC$$ совпадают.

Докажем обратное утверждение. Пусть середины отрезков $$AD$$ и $$BC$$ совпадают в точке $$O$$. Тогда $$AO=OD$$ и $$BO=OC$$. Следовательно, диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ делятся точкой пересечения пополам, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD$$. Следовательно, $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$.

Найдём длины векторов по формуле $$|\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2}$$.

$$ |\vec a|=\sqrt{5^2+9^2}=\sqrt{25+81}=\sqrt{106} $$
$$ |\vec b|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5 $$
$$ |\vec c|=\sqrt{(-10)^2+(-10)^2}=\sqrt{100+100}=10\sqrt{2} $$
$$ |\vec d|=\sqrt{10^2+17^2}=\sqrt{100+289}=\sqrt{389} $$
$$ |\vec e|=\sqrt{11^2+(-11)^2}=\sqrt{121+121}=11\sqrt{2} $$
$$ |\vec f|=\sqrt{10^2+0^2}=\sqrt{100}=10 $$