Упр.937 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Точки S и Т являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы: a) NL и KL; б) MS и SN; в) MN и KL; г) TS и КМ; д) TL и КТ? Даны точки А (0; 1) и В (5; -3). Найдите координаты точек С и D, если известно, что точка В — середина отрезка АС, а точка D — середина отрезка ВС.

Подробный ответ

1) В равнобедренной трапеции $$MNLK$$ точки $$S$$ и $$T$$ — середины боковых сторон $$MN$$ и $$LK$$.

а) Векторы $$\overrightarrow{NL}$$ и $$\overrightarrow{KL}$$ не коллинеарны, значит, они не равны.

б) Так как $$S$$ — середина отрезка $$MN$$, то $$\overrightarrow{MS}$$ и $$\overrightarrow{SN}$$ сонаправлены и равны по длине. Следовательно, $$\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{SN}$$.

в) Векторы $$\overrightarrow{MN}$$ и $$\overrightarrow{KL}$$ не коллинеарны, значит, они не равны.

г) Отрезок $$TS$$ — средняя линия трапеции, поэтому $$TS \parallel KM$$ и $$TS=\frac{1}{2}KM$$. Следовательно, векторы $$\overrightarrow{TS}$$ и $$\overrightarrow{KM}$$ не равны.

д) Так как $$T$$ — середина отрезка $$KL$$, то $$\overrightarrow{TL}$$ и $$\overrightarrow{KT}$$ сонаправлены и равны по длине. Значит, $$\overrightarrow{TL}=\overrightarrow{KT}$$.

2) Пусть $$A(0;1)$$, $$B(5;-3)$$.

Так как $$B$$ — середина отрезка $$AC$$, имеем:

$$ x_B=\frac{x_A+x_C}{2}, \qquad y_B=\frac{y_A+y_C}{2} $$

Подставим координаты:

$$ 5=\frac{0+x_C}{2}, \qquad -3=\frac{1+y_C}{2} $$

Отсюда:

$$ x_C=10, \qquad y_C=-7 $$

Значит, $$C(10;-7)$$.

Теперь найдём точку $$D$$, если $$D$$ — середина отрезка $$BC$$:

$$ x_D=\frac{x_B+x_C}{2}, \qquad y_D=\frac{y_B+y_C}{2} $$

Подставим:

$$ x_D=\frac{5+10}{2}=7{,}5, \qquad y_D=\frac{-3+(-7)}{2}=-5 $$