Упр.925 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет задача? Даны векторы а {2; 4}, b {-2; 0}, с{0;0}, d{-2;-3}, е(2;-3}, f {0, 5}. Найдите координаты векторов, противоположных данным.

Если точки $$H_1, H_2, H_3$$ являются основаниями высот треугольника $$ABC$$, то они лежат на одной окружности, причём эта окружность проходит через основания высот. Центр такой окружности можно найти как точку пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $$H_1H_2$$, $$H_2H_3$$ и $$H_3H_1$$.

Построим серединные перпендикуляры к отрезкам $$H_1H_2$$, $$H_2H_3$$ и $$H_3H_1$$ и обозначим точку их пересечения через $$O$$. Тогда окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OH_1$$ проходит через точки $$H_1, H_2, H_3$$.

Теперь проведём касательные к этой окружности в точках $$H_1, H_2, H_3$$. Точки их попарных пересечений и будут вершинами искомого треугольника $$ABC$$.

Так как к окружности можно провести касательные в трёх точках по-разному, получаем несколько возможных треугольников. При перестановке вершин соответствие между основаниями высот сохраняется, поэтому задача имеет $$4$$ решения.

Для векторов, противоположных данным, нужно изменить знак каждой координаты:

$$\vec a=(2;4)\Rightarrow -\vec a=(-2;-4)$$

$$\vec b=(-2;0)\Rightarrow -\vec b=(2;0)$$

$$\vec c=(0;0)\Rightarrow -\vec c=(0;0)$$

$$\vec d=(-2;-3)\Rightarrow -\vec d=(2;3)$$

$$\vec e=(2;-3)\Rightarrow -\vec e=(-2;3)$$

$$\vec f=(0;5)\Rightarrow -\vec f=(0;-5)$$

Ответ

Треугольник строится по описанному способу; решений задачи $$4$$.

$$-\vec a=(-2;-4),\ -\vec b=(2;0),\ -\vec c=(0;0),\ -\vec d=(2;3),\ -\vec e=(-2;3),\ -\vec f=(0;-5).$$