Упр.919 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симпсона). Выпишите координаты векторов a = 2i + 3j, b = -1/2i + 2j, с = 8i, d = i-j, e=-2j, f = -i.

Подробный ответ

Обозначим через $$E, F, G$$ основания перпендикуляров, опущенных из точки $$D$$ на прямые $$AB, AC, BC$$ соответственно.

Рассмотрим четырёхугольник $$AEFD$$. По условию $$DE \perp AB$$, значит $$\angle AED=90^\circ$$. Аналогично $$DF \perp AC$$, поэтому $$\angle AFD=90^\circ$$. Следовательно,

$$\angle AED+\angle AFD=180^\circ,$$

значит, точки $$A, E, F, D$$ лежат на одной окружности. Тогда равны углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $$AD$$:

$$\angle AFE=\angle ADE.$$

Аналогично рассмотрим четырёхугольник $$DFCG$$. Так как $$DF \perp AC$$ и $$DG \perp BC$$, то

$$\angle DFC=90^\circ,\qquad \angle DGC=90^\circ,$$

следовательно, точки $$D, F, C, G$$ лежат на одной окружности. Тогда

$$\angle CFG=\angle CDG.$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$ABCD$$. Так как точки $$A, B, C, D$$ лежат на одной окружности, то

$$\angle BAD+\angle DCB=180^\circ.$$

Из этого и из того, что $$\angle CDG=180^\circ-\angle DCB$$, получаем

$$\angle CDG=\angle BAD.$$

Кроме того, $$\angle EAD=90^\circ-\angle BAD$$, а $$\angle AFE=90^\circ-\angle ADE$$. Но из равенства $$\angle ADE=\angle AFE$$ и предыдущих соотношений следует, что

$$\angle CFG=\angle AFE.$$

Значит, точки $$E, F, G$$ лежат на одной прямой.