Упр.917 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что в любом треугольнике радиус R описанной окружности, радиус г вписанной окружности и расстояние d между центрами этих окружностей связаны равенством d2 = R2 — 2Rr (формула Эйлера). Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы i и j. Постройте векторы с началом в точке О, заданные координатами а {3; 0}, b {2; -1}, с {0; -3}, d {1; 1}, e{2;корень2}.
Обозначим центр описанной окружности через $$O$$, а центр вписанной окружности — через $$M$$. Пусть $$d=OM$$, радиус описанной окружности равен $$R$$, а радиус вписанной — $$r$$.
Проведём через точку $$M$$ диаметр $$PQ$$ описанной окружности и биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$. Обозначим точки пересечения этих биссектрис со стороной $$AB$$ через $$A_1$$ и $$B_1$$ соответственно.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд для точки $$M$$ получаем:
$$PM\cdot MQ=AM\cdot MA_1.$$
Так как $$PM=R+d$$, а $$MQ=R-d$$, то
$$ (R+d)(R-d)=AM\cdot MA_1. $$
Поскольку $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то
$$\angle BMA_1=\frac{\angle BAA_1+\angle ABB_1}{2}=\frac{\angle A+\angle B}{2}.$$
Следовательно, треугольник $$MA_1B$$ равнобедренный, и потому
$$AM\cdot BA_1=AM\cdot A_1A_2,$$
где $$A_1A_2$$ — диаметр описанной окружности, а значит $$A_1A_2=2R$$.
Тогда из подобия прямоугольных треугольников $$\triangle A_1A_2B$$ и $$\triangle AMK$$ получаем
$$\frac{MK}{BA_1}=\frac{AM}{A_1A_2},$$
откуда, учитывая, что $$MK=r$$, имеем
$$AM\cdot BA_1=2Rr.$$
Но ранее было получено
$$AM\cdot MA_1=(R+d)(R-d).$$
Следовательно,
$$ (R+d)(R-d)=2Rr. $$
Раскрывая скобки, получаем:
$$R^2-d^2=2Rr,$$
то есть
$$d^2=R^2-2Rr.$$
Теперь построим векторы с началом в точке $$O$$ по заданным координатам:
- $$\vec a=(3;0)$$ — вдоль положительного направления оси $$Ox$$;
- $$\vec b=(2;-1)$$;
- $$\vec c=(0;-3)$$ — вдоль отрицательного направления оси $$Oy$$;
- $$\vec d=(1;1)$$;
- $$\vec e=(2;\sqrt2)$$.
Каждый вектор откладывается из точки $$O$$ к точке с соответствующими координатами.
Ответ
$$d^2=R^2-2Rr.$$
