Упр.916 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея). Векторы а и b не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству: а) 3а — xb = уа + b; б) 4а — ха + 5b + уb = 0; в) ха + 36 — yb = 0; г) а + b — Зуа + xb = 0.

Подробный ответ

1) Теорема Птолемея. Рассмотрим вписанный четырёхугольник $$ABCD.$$ На диагонали $$AC$$ отметим точку $$E$$ так, что $$\angle ABE=\angle DBC.$$

Тогда, так как $$\angle BAE=\angle BCD=\frac12 \overset{\frown}{BC},$$ получаем подобие треугольников $$\triangle ABE \sim \triangle DBC$$ по двум углам. Отсюда

$$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{CD},$$

значит

$$AB\cdot CD=AE\cdot BD.$$

Кроме того, $$\angle BCE=\angle BDA=\frac12 \overset{\frown}{AB},$$ а также

$$\angle EBC=\angle ABD=\angle ABE+\angle EBD,$$

поэтому $$\triangle BCE \sim \triangle BDA$$ по двум углам. Следовательно,

$$\frac{BC}{BD}=\frac{CE}{AD},$$

то есть

$$BC\cdot AD=CE\cdot BD.$$

Сложим полученные равенства:

$$AB\cdot CD+BC\cdot AD=AE\cdot BD+CE\cdot BD.$$

Так как $$AE+CE=AC,$$ то

$$AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD.$$

Что и требовалось доказать.

2) Векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны. Найдём $$x$$ и $$y$$.

Так как векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны, то равенство векторов возможно только при равенстве коэффициентов при $$\vec a$$ и $$\vec b$$.

а) $$3\vec a-x\vec b=y\vec a+\vec b.$$ Тогда

$$3=y,\qquad -x=1,$$

откуда $$y=3,\ x=-1.$$

б) $$4\vec a-x\vec a+5\vec b+y\vec b=0.$$ Получаем

$$4-x=0,\qquad 5+y=0,$$

значит $$x=4,\ y=-5.$$

в) $$x\vec a+3\vec b-y\vec b=0.$$ Тогда

$$x=0,\qquad 3-y=0,$$

следовательно, $$x=0,\ y=3.$$

г) $$\vec a+\vec b-3y\vec a+x\vec b=0.$$ Тогда

$$1-3y=0,\qquad 1+x=0,$$

откуда $$y=\frac13,\ x=-1.$$