Упр.914 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD = ВС + AD. Докажите, что если векторы а и b не коллинеарны, то: а) векторы а + b и а-b не коллинеарны; б) векторы 2а -b и а + b не коллинеарны; в) векторы а + b и а + 3b не коллинеарны.

Решение

Пусть биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$E \in CD$$. Проведём через $$E$$ прямую $$MK \parallel AB$$, где $$M \in AD$$, $$K \in BC$$.

Тогда $$\angle MEA = \angle A$$ как накрест лежащие, а значит, в треугольнике $$AME$$ углы при основании равны, то есть $$ME = MA$$.

Аналогично $$\angle KEB = \angle B$$, поэтому треугольник $$BKE$$ равнобедренный и $$KE = KB$$.

Так как четырёхугольник $$ABCD$$ вписанный, то

$$\angle A + \angle C = 180^\circ.$$

Из равенства $$ME = MA$$ следует, что треугольник $$AME$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle AEM = \angle MAE = \frac{1}{2}\angle A.$$

Аналогично в треугольнике $$BKE$$ имеем

$$\angle BEK = \frac{1}{2}\angle B.$$

Следовательно, углы при точке $$E$$ в треугольниках $$DME$$ и $$KCE$$ дополняют друг друга до углов $$C$$ и $$D$$, поэтому эти треугольники подобны. Так как $$E$$ — точка пересечения биссектрис, то она равноудалена от сторон $$AD$$ и $$BC$$, значит, высоты в треугольниках $$DME$$ и $$KCE$$ равны. Отсюда

$$DE = KE,$$

а также $$DM = KC$$.

Теперь

$$ CD = CE + DE = ME + KE = MA + KB. $$

Но $$MA = AD — DM$$, $$KB = BC — KC$$, значит

$$ CD = (AD — DM) + (BC — KC). $$

С учётом $$DM = KC$$ получаем

$$CD = AD + BC.$$

Что и требовалось доказать.

Докажем теперь утверждения о векторах. Пусть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ неколлинеарны.

а) Докажем, что $$\vec a + \vec b$$ и $$\vec a — \vec b$$ неколлинеарны.

Предположим противное: пусть они коллинеарны. Тогда существует число $$k$$ такое, что

$$\vec a + \vec b = k(\vec a — \vec b).$$

Тогда

$$ \vec a + \vec b = k\vec a — k\vec b, $$

откуда

$$ \vec a(1-k) = \vec b(-1-k). $$

Если $$1-k \ne 0$$, то

$$ \vec a = \frac{-1-k}{1-k}\,\vec b, $$

то есть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, $$\vec a + \vec b$$ и $$\vec a — \vec b$$ неколлинеарны.

б) Докажем, что $$2\vec a — \vec b$$ и $$\vec a + \vec b$$ неколлинеарны.

Пусть они коллинеарны. Тогда

$$ 2\vec a — \vec b = k(\vec a + \vec b). $$

Получаем

$$ 2\vec a — \vec b = k\vec a + k\vec b, $$

откуда

$$ \vec a(2-k) = \vec b(1+k). $$

Значит,

$$ \vec a = \frac{1+k}{2-k}\,\vec b, $$

то есть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны — противоречие. Следовательно, $$2\vec a — \vec b$$ и $$\vec a + \vec b$$ неколлинеарны.

в) Докажем, что $$\vec a + \vec b$$ и $$\vec a + 3\vec b$$ неколлинеарны.

Предположим, что они коллинеарны. Тогда

$$ \vec a + \vec b = k(\vec a + 3\vec b). $$

Следовательно,

$$ \vec a + \vec b = k\vec a + 3k\vec b, $$

откуда

$$ \vec a(1-k) = \vec b(3k-1). $$

Значит,

$$ \vec a = \frac{3k-1}{1-k}\,\vec b, $$

то есть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны, что невозможно. Следовательно, $$\vec a + \vec b$$ и $$\vec a + 3\vec b$$ неколлинеарны.

Ответ

$$CD = BC + AD.$$ Векторы $$\vec a + \vec b$$ и $$\vec a — \vec b$$, $$2\vec a — \vec b$$ и $$\vec a + \vec b$$, $$\vec a + \vec b$$ и $$\vec a + 3\vec b$$ неколлинеарны.